Es wird der Grenzwert der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung für n gegen unendlich, p gegen 0 und einem konstanten Produkt von n und p gebildet. Das Ergebnis ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung, wie folgend gezeigt wird.
Es werden zunächst Umformungen an der Binomialverteilung vorgenommen. Das „n über x“ wird ausführlich geschrieben. Der zweite Teil, das p hoch x wird um n hoch x erweitert. Der dritte Teil mit dem Exponenten n-x wird in einen Bruch mit dem Exponenten n im Zähler und x im Nenner zerlegt.
Die Fakultät im ersten Teil wird ausführlich geschrieben. Die folgenden Teile werden umgruppiert.
Der erste Teil des Ausdrucks kann soweit gekürzt werden, dass nur noch 1 im Nenner übrig bleibt.
Es wird weiter umgruppiert.
Der durch die Umformungen entstandene Ausdruck ist recht lang. Der Übersichtlichkeit halber erfolgt die Grenzwertbildung an drei Teilausdrücken, die nachfolgend mit A, B und C gekennzeichnet sind.
Der Teilausdruck kann durch Umgruppieren wie obenstehend umgeschrieben werden.
Nun wird der Grenzwert für n gegen unendlich gebildet. Da kein „p“ in dem Ausdruck vorkommt, entfällt die Grenzwertbildung für p gegen 0 in diesem Teilausdruck.
Der Ausdruck wird auseinandergezogen.
Alle Bestandteile gehen gegen 1 und somit auch das Produkt dieser.
Für Teilausdruck B ist die Grenzwertbildung gegen p gleich 0 erforderlich. Ergebnis ist 1.
Bei Teilausdruck C wird der Exponent um p erweitert und eine Klammersetzung vorgenommen.
Der unterklammerte Ausdruck entspricht der Eulerschen Zahl e. Der Exponent n mal p bleibt bei Grenzwertbildung n mal p, da oben festgelegt wurde, dass das Produkt konstant bleiben soll.
Nun werden die drei Teilausdrücke zusammengesetzt. Da n mal p nach den obigen Festlegungen konstant ist, kann es durch den griechischen Buchstaben My ersetzt werden. Das Ergebnis ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung.
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