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Vom realen Problem zur Poissonverteilung: Parameterschätzung & Anpassungstest

Im Folgenden sollen einige Hinweise zu Parameterschätzung und Anpassungstests in Zusammenhang mit der Poissonverteilung gegeben werden. Dies ist insbesondere bei der Anwendung der Poissonverteilung auf praktische Problemstellungen relevant.

Hypothese aufstellen

Es besteht die Vermutung, dass eine reale Verteilung in Zusammenhang mit einem praktischen Problem durch die Poissonverteilung hinreichend gut beschrieben werden kann. Zum Beispiel könnte bei der Untersuchung zur Leistungsfähigkeit einer Telefonzentrale angenommen werden, dass die Zahl der Anrufer innerhalb eines Fünf-Minuten-Zeitintervalls poissonverteilt ist, weil genau dieses Problem häufig in der Literatur als Beispiel angegeben wird. Generell drängt sich die Vermutung, eine Poissonverteilung könnte vorliegen, immer dann auf, wenn es um die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignissen geht, die von vielen Elementen ausgelöst werden können, aber nur mit geringer Wahrscheinlichkeit von einem einzelnen Element ausgelöst werden.

Parameterschätzung

Die Poissonverteilung ist eine einparametrige Verteilung, dementsprechend muss der Parameter My geschätzt werden

Dazu wird eine Stichprobe am zu untersuchenden Gegenstand genommen. Im Beispiel der Telefonzentrale könnte während 100 Fünf-Minuten-Intervallen die Zahl der Anrufer erhoben werden.

Der Mittelwert der Anruferzahlen kann als Schätzwert für My verwendet werden:
: Schätzwert für den Parameter der Poissonverteilung
: Empirischer Mittelwert der in Zeitintervallen der Stichprobe beobachteten Anruferzahlen.
: Anruferzahl in Zeitintervall i
: Anzahl der beobachteten Zeitintervalle

Der vorstehende Schätzer kann mit der Maximum-Likelihood-Methode hergeleitet werden.

Der Parameter der Poissonverteilung wurde geschätzt. In der Praxis würde nun wohl häufig mit Untersuchungen auf Basis der gefundenen Poissonverteilung begonnen. Allerdings ist es bisher nur eine Hypothese, dass eine Poissonverteilung vorliegt. Ob dies so ist, muss näher nachgeprüft werden.

Weiterhin ist zu bemerken, dass der aus der Stichprobe errechnete Mittelwert und damit der Parameter My eine Zufallsgröße ist. Bei einer erneuten Stichprobe könnte sich ein anderer Wert ergeben.

Anpassungstest

Ist die Hypothese richtig, liegt tatsächlich eine Poissonverteilung vor?

Mithilfe des Anpassungstests kann eine Aussage getroffen werden, ob mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit davon ausgegangen werden kann, dass das reale Problem mit einer Poissonverteilung beschrieben werden kann.

Im vorliegenden Fall eignet sich der Chi-Quadrat-Anpassungstest.

In der Aufgabensammlung ist ein Beispiel zum Chi-Quadrat-Anpassungstest durchgerechnet.

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