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Fall: ohne Wiederholung, Reihenfolge spielt eine Rolle

Unterfall: Permutationen

Zunächst eine Betrachtung des Sonderfalls, bei dem alle Kugeln gezogen werden, das heißt, es werden von N Kugeln N gezogen: Werden alle Kugeln „ohne Zurücklegen“ gezogen, bezeichnet man eine Anordnung auch als Permutation.

In einer Urne sind vier farbige Kugeln, jeweils eine gelbe, rote, blaue und schwarze. Alle Kugeln sollen gezogen werden, gezogene Kugeln werden nicht mehr zurückgelegt. In wie viel möglichen Reihenfolgen können die Kugeln gezogen werden?

permutationen

1. Zug
Es gibt vier Möglichkeiten eine Kugeln zu ziehen.

2. Zug
Welche Kugeln noch in der Urne sind, hängt davon ab, welche Kugel zuerst gezogen wurde. Es gibt aber in jeden Fall noch drei Kugeln. Insgesamt gibt es nach dem zweiten Zug 12 mögliche Anordnungen. Die Anzahl der Möglichkeiten beim ersten Zug und und die der beim zweiten Zug müssen multipliziert werden.

3. Zug
Beim dritten Zug sind noch zwei Kugeln in der Urne, sodass es zwei Möglichkeiten gibt. Die Zahl der möglichen Anordnungen verdoppelt sich.

4. Zug
Es ist in jedem Fall nur noch eine Kugel in der Urne. Die Anzahl der möglichen Anordnungen erhöht sich nicht meh, sozusagen eine Multiplikation mit eins.

Sind allgemein N Elemente, N steht für eine natürliche Zahl, anzuordnen, berechnet sich die Zahl der Permutationen wie folgt:

In Worten ausgedrückt:
Die Anzahl der Permutationen, also der möglichen Anordnungen, ergibt sich, wenn man von N bis 1 abwärts gezählt wird und die Zahlen miteinander multipliziert werden. Um Schreibarbeit zur sparen, wurde eine Kurzschreibweise eingeführt:

Gesprochen wird N! „N-Fakultät“. Ergänzend wurde festgelegt, dass die Fakultät von null eins ist. Wie schon das kleine Beispiel zeigt: Die Zahl der Permutationen wird schnell sehr groß.

Weiterlesen:
Variationen: Ohne Wiederholung, Reihenfolge spielt Rolle

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