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Hypergeometrische Verteilung- diskrete Verteilung mit drei Parametern

Kurzcharakteristik

Die Hypergeometrische Verteilung ist eine dreiparametrige diskrete Verteilung. Ihr liegt das Urnenmodell beim „Ziehen ohne Zurücklegen“ zugrunde. In der Urne befinden sich Kugeln, die eine besondere Eigenschaft haben, z. B. eine spezielle Farbe. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, eine bestimmte Anzahl von Kugeln mit der Eigenschaft zu ziehen.

Wichtige Funktionen und Größen

Wahrscheinlichkeitsfunktion:

hypergeometrische_verteilung_wahrscheinlichkeitsfunktion

n: Stichprobenumfang
N: Anzahl der Elemente in der Grundgesamtheit
M: Anzahl der Elemente in der Grundgesamtheit, die eine bestimmte Eigenschaft haben

Auf das Urnenmodell bezogen: f(x) gibt die Wahrscheinlichkeit an, aus einer Urne mit N Kugeln von denen M rot sind bei n-maligen Ziehen x rote Kugeln zu ziehen. Bezüglich der Wahl der Parameter sind eine Reihe logischer Bedingungen zu beachten, z. B. darf der Stichprobenumfang nicht größer sein als die Anzahl der Elemente in der Grundgesamtheit.

Verteilungsfunktion:

hypergeometrische_verteilung_verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion erhält man durch Aufsummieren der Wahrscheinlichkeiten von null bis zum gesuchten Wert.

Erwartungswert:

hypergeometrische_verteilung_erwartungswert

Varianz:

hypergeometrische_verteilung_varianz

Zugrundeliegende Idee

Die Hypergeometrischen Verteilung baut auf der Vorstellung des Urnenmodells bei „Ziehen ohne Zurücklegen“ auf. Die zu beantwortende Frage ist, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, x Kugeln mit einem bestimmten Merkmal bei n-maligem Ziehen zu ziehen.

Nachfolgend die Erläuterung der Hypergeometrischen Verteilung anhand eines Beispiels:

Es hilft die Vorstellung einer Urne mit 5 Kugeln, in der die Kugeln durchnummeriert sind und in der drei rote und zwei schwarze Kugeln befinden.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Ziehen zwei rote Kugeln zu ziehen?

Es können nun zwei Fragen gestellt werden:
Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, Kugeln bei dreimaligem Ziehen (n=3) aus 5 Kugeln (N=5) zu ziehen?

Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen und die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, ist egal. Es gibt von daher

Wieviele Möglichkeiten gibt es, zwei rote Kugeln zu ziehen? Bei fünfmaligem Ziehen zwei Rote zu ziehen, bedeutet, aus den drei roten Kugeln zwei rote zu ziehen und aus den 2 schwarzen Kugeln eine schwarze zu ziehen.

Für die roten Kugeln gilt:

Für die schwarzen Kugeln:

Da die Möglichkeiten, schwarze und rote Kugeln zu ziehen, unabhängig voneinander sind, gibt es insgesamt

Insgesamt führen 6 von 10 Möglichkeiten dazu, dass 2 rote Kugeln gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 0,6.

Rechner zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten
Rechenaufgabe zur Hypergeometrischen Verteilung

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