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Binomialverteilung- zweiparametrige diskrete Verteilung

Kurzcharakteristik

wahrscheinlihckeitsfunktion_bionmialverteilung

Die Binomialverteilung ist eine zweiparametrige, diskrete Verteilung. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl des Auftretens eines Ereignisses bei der mehrmaligen Ausführung eines Zufallsversuchs mit zwei möglichen Ergebnissen, konstanter Wahrscheinlichkeit und voneinander unabhängigen Ausführungen an (Bernoulliexperiment).

Die Parameter sind n und p. Der Parameter n gibt die Anzahl der Wiederholungen des Zufallsexperiments an, p die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses bei einem einzelnen Versuch.

Wichtige Funktionen und Größen

Wahrscheinlichkeitsfunktion:

binomialverteilung_wahrscheinlichkeitsfunktion

[Was bedeuten diese Zeichen?]

Der Parameter n ist eine natürliche Zahl, p eine Wahrscheinlichkeit und muss von daher zwischen 0 und 1 liegen. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist für ganzzahlige x, die null oder größer sind, definiert.

Verteilungsfunktion:

binomialverteilung_verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten von null bis zum zu errechnenden Wert. Die Berechnung von Hand ist von daher recht aufwendig.

Erwartungswert:

binomialverteilung_erwartungswert

Varianz:

binomialverteilung_varianz

Zugrundeliegende Idee

Die Binomialverteilung gibt Wahrscheinlichkeiten für eine bestimmte Anzahl des Auftretens eines Ereignisses bei einem Bernoulliexperiment. Als Bernoulliexperiment wird das mehrmalige Ausführen eines Zufallsversuchs bezeichnet, bei dem es zwei Ergebnisse gibt, die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ergebnisses bei jedem einzelnen Versuchen gleich ist und die einzelnen Versuche voneinander unabhängig sind.

Klassisches Beispiel hierfür ist das mehrmalige Werfen einer Münze. Auch das Würfeln von Sechsern bei einem Würfelspiel wird häufig verwendet.

Ein Würfel kann verschiedene Zahlen anzeigen. Bei vielen Spielen ist es aber besonders vorteilhaft, Sechser zu würfeln. Deshalb könnte die Frage von Interesse sein, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, bei fünf Würfen drei Sechser zu würfeln. Die Binomialverteilung kann hierauf Antwort geben.

Zunächst zu klären ist, ob ein Bernoulliexperiment vorliegt: Es sind zwei Ereignisse definiert, „Würfeln einer Sechs“ und „Würfeln einer anderen Zahl“. Die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln, ist immer p = 1/6, die eine andere Zahl als Sechs zu würfeln (1-p) = 5/6. Die Wahrscheinlichkeit ist bei jedem Wurf gleich und die Ergebnisse der Würfe sind unabhängig, schließlich hat der Würfel kein Gedächtnis. Somit liegt ein Bernoulliexperiment vor.

Eine Möglichkeit, bei fünfmaligen Würfeln dreimal eine Sechs zu würfeln. ist, bei den ersten drei Würfen eine Sechs zu würfeln und beim vierten und fünften Wurf eine andere Zahl.

Die Wahrscheinlichkeit, dass das passiert, ist:

Allgemein:
Wahrscheinlichkeit für Ereignis: p
Wahrscheinlichkeit für Gegenereignis: (1-p)
Anzahl der Versuche: n
Anzahl des Auftretens des Ereignisses: x
Häufigkeit des Nichtauftretens: n-x

Es gibt aber nicht nur diese Möglichkeit, dreimal eine Sechs zu werfen, zum Beispiel könnte auch die letzten dreimal eine Sechs geworfen werden. Für jede Möglichkeit ergibt sich dieselbe Wahrscheinlichkeit. Das ist leicht zu erkennen, da durch Umsortieren der Multiplikatoren die Sechserwürfe an den Anfang gestellt werden können und die Nicht-Sechserwürfe an das Ende gestellt werden können.

Allgemein:

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Anordnung auftritt, ist immer:

Nun stellt sich die Frage, wie viele mögliche Anordnungen es gibt. Das Problem der Anordnung der Sechser-Würfe kann als Ziehen von Kugeln aus einer Urne gedacht werden. In der Urne sind fünf Kugeln mit den Beschriftungen „1. Wurf“ bis „5. Wurf“. Nun werden drei Kugeln gezogen. Jede sagt aus, wann eine Sechs geworfen wird. Die Kugeln werden nicht zurückgelegt und es ist egal, in welcher Reihenfolge die Kugeln gezogen werden, entscheidend ist nur, welche Kugeln gezogen werden. Somit kann eine der im Abschnitt „Kombinatorik“ vorgestellten Formeln zum Einsatz kommen.

Die Antwort auf die Anzahl der möglichen Anordnungen gibt der Binomialkoeffizient.

Die Wahrscheinlichkeit, drei Sechser zu würfeln, ist damit:

Da das Ausrechnen recht mühsam ist, gibt es Tabellen, in denen die Wahrscheinlichkeiten abgelesen werden können. In der Regel sind in den Spalten verschiedene p abgetragen und in den Zeilen die x. Für jedes n gibt es eine kleine Tabelle. (Die Wahrscheinlichkeiten für p = 1/6 = 0,16667 wie vorliegenden Fall ist nur selten tabelliert, von daher war die vorstehende Arbeit nicht unnötig.)

Grafen

Diagramm Binomialverteilung Diagramm Binomialverteilungverschiedene 9

Weiteres Material zur Binomialverteilung:
Tabellenwerk zur Binomialverteilung
Aufgabe zur Benutzung der Tabelle
Aufgabe zum Einsatz der Formel
Erklärung der Kombinatorik

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