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Herleitung: Varianz der Poissonverteilung

Die Varianz der Poissonverteilung soll berechnet werden. Dazu wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung in die allgemeine Formel zur Berechnung der Varianz eingesetzt. Die Summation läuft über den gesamten Definitionsbereich der Poissonverteilung, also von 0 bis unendlich.

Der erste Summand ist 0, es verbleiben die Summanden für x von 1 bis unendlich.

Die Exponentialfunktion im Zähler wird auseinandergezogen, ebenso die Fakultät im Zähler. Das My wird vor das Summenzeichen gezogen und das x im Nenner herausgekürzt.

Das x wird durch x+1 ersetzt. Der Laufindex läuft wieder von 0 bis unendlich. „x-1“ wird zu „x“, „x“ wird zu „x+1“. Das „x+1“ vor dem Bruch wird ausmultipliziert und in zwei Summen aufgeteilt.

Es zeigt sich, dass die erste Summe dem Ausdruck zur Berechnung des Erwartungswertes entspricht. Dieser ist My [Beweis für Erwartungswert]. Die zweite Summe ist nichts anderes als die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Poissonverteilung über den gesamten Definitionsbereich und ergibt von daher 1. Nach Vereinfachung ergibt sich My als Ergebnis.

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