Banner

Pfad: http:// www.poissonverteilung.de/ beweise/poissonverteilung-uebergang-binomialverteilung.html

Herleitung des Übergangs der Binomialverteilung in die Poissonverteilung.

Zu zeigen:

Es wird der Grenzwert der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung für n gegen unendlich, p gegen 0 und einem konstanten Produkt von n und p gebildet. Das Ergebnis ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung, wie folgend gezeigt wird.

Umformen der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung

Es werden zunächst Umformungen an der Binomialverteilung vorgenommen. Das „n über x“ wird ausführlich geschrieben. Der zweite Teil, das p hoch x wird um n hoch x erweitert. Der dritte Teil mit dem Exponenten n-x wird in einen Bruch mit dem Exponenten n im Zähler und x im Nenner zerlegt.

Die Fakultät im ersten Teil wird ausführlich geschrieben. Die folgenden Teile werden umgruppiert.

Der erste Teil des Ausdrucks kann soweit gekürzt werden, dass nur noch 1 im Nenner übrig bleibt.

Es wird weiter umgruppiert.

Der durch die Umformungen entstandene Ausdruck ist recht lang. Der Übersichtlichkeit halber erfolgt die Grenzwertbildung an drei Teilausdrücken, die nachfolgend mit A, B und C gekennzeichnet sind.

Der Teilausdruck kann durch Umgruppieren wie obenstehend umgeschrieben werden.

Nun wird der Grenzwert für n gegen unendlich gebildet. Da kein „p“ in dem Ausdruck vorkommt, entfällt die Grenzwertbildung für p gegen 0 in diesem Teilausdruck.

Der Ausdruck wird auseinandergezogen.

Alle Bestandteile gehen gegen 1 und somit auch das Produkt dieser.


Für Teilausdruck B ist die Grenzwertbildung gegen p gleich 0 erforderlich. Ergebnis ist 1.

Bei Teilausdruck C wird der Exponent um p erweitert und eine Klammersetzung vorgenommen.

Der unterklammerte Ausdruck entspricht der Eulerschen Zahl e. Der Exponent n mal p bleibt bei Grenzwertbildung n mal p, da oben festgelegt wurde, dass das Produkt konstant bleiben soll.

Zusammensetzen:

Nun werden die drei Teilausdrücke zusammengesetzt. Da n mal p nach den obigen Festlegungen konstant ist, kann es durch den griechischen Buchstaben My ersetzt werden. Das Ergebnis ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung.

|Impressum| |Fehler melden|

©2012-2015; www.poissonverteilung.de