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Herleitung: Erwartungswert der Poissonverteilung

Der Erwartungswert ist die Summe der Produkte von x und der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von x. Da die Poissonverteilung für x von 0 bis unendlich definiert ist, läuft der Summationsindex von 0 bis unendlich.

Der erste Summand ist 0, da das Produkt aus 0 und einer beliebigen Wahrscheinlichkeit 0 ist. Es verbleiben die Summanden für x=1 bis unendlich.

Die Exponentialfunktion im Zähler wird zerlegt, ebenso die Fakultät im Nenner. Das aus der Fakultät hervorgehende x wird mit dem x vor dem Bruch gekürzt, das My wird vor das Summenzeichen gezogen.

Nun wird x-1 durch x ersetzt. Die Summation läuft aufgrund der Ersetzung wieder ab 0. Ein Vergleich des zu summierenden Ausdrucks mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung zeigt Übereinstimmung. Die Summation über den gesamten Definitionsbereich muss deshalb 1 ergeben.

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