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Beispiel: Der Chi-Quadrat-Test als Anpassungstest für die Poissonverteilung (Berechnung)

1.) Formulieren der Hypothesen

H0: Die Zahl der Anrufer in einem Intervall ist poissonverteilt mit μ=3,3.

HA: Die Zahl der Anrufer in einem Intervall ist nicht poissonverteilt mit μ=3,3.

2.) Gegenüberstellen von tatsächlicher und theoretischer Verteilung

Klasse 1 2 3 4 5 6
Anz. Anrufe 0 1 2 3 4 ≥ 5
Beobachtete Anzahl 6 9 19 16 32 18
Erwartete Anzahl 3,69 12,17 20,08 22,09 18,23 23,74

Den gemessenen Anruferzahlen werden die Anruferzahlen gegenübergestellt, die sich der Poissonverteilung folgend einstellen würden.

3.) Berechnen der Prüfgröße

Die Prüfgröße berechnet sich wie folgt:

:Anzahl der Beobachtungen in Klasse i.

: Erwartete Anzahl von Beobachtungen in Klasse i.

Durch Einsetzen der Werte aus vorstehender Tabelle kann die Prüfgröße errechnet werden:

4.) Ermitteln des kritischen Wertes:

Aus Tabellen für Chi-Quadrat-Verteilungen kann nun der kritische Wert abgelesen. Dazu ist nötig, die Anzahl der Freiheitsgrade zu kennen.

Die Anruferzahl wurde in sechs Klassen eingeteilt. Ein Parameter wurde aus der Tabelle mit den Stichprobenergebnissen geschätzt, deshalb wird ein Freiheitsgrad abgezogen. Ein weiterer Freiheitsgrad wird abgezogen, weil sich die Anzahl in der letzten Klasse ergibt, wenn die Gesamtzahl der Beobachtungen bekannt ist.

Die Zahl der Freiheitsgrade der Chi-Quadrat-Verteilung beträgt somit.:

Ein Ablesen in einer Chi-Quadrat-Tabelle (auf dieser Seite gibt es leider keine) für ein Signifikanzniveau von 0,95 ergibt:

5.) Entscheidung:

Prüfgröße und kritischer Wert werden verglichen.

Die Prüfgröße ist größer als der kritische Wert. Die Nullhypothese kann abgelehnt werden.

Es ist somit unwahrscheinlich, dass die Anzahl der Anrufer in der betrachteten Telefonzentrale poissonverteilt ist.

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